โครงสร้างของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับที่ $n$ จะถูกกำหนดโดยอนุพันธ์อันดับสูงสุด เราจะกำหนดรูปแบบทั่วไปเป็นสมการ (1):
$$P_0(t) \frac{d^n y}{dt^n} + P_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + P_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + P_n(t)y = G(t)$$ (1)
เพื่อให้การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีง่ายขึ้น เราจะปกติสมการนี้โดยการหารด้วย $P_0(t)$ โดยสมมุติว่ามันไม่เป็นศูนย์ในช่วงที่สนใจ สิ่งนี้นำไปสู่ รูปแบบมาตรฐาน (สมการ 2):
$$L[y] = \frac{d^n y}{dt^n} + p_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + p_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + p_n(t)y = g(t)$$ (2)
สัญลักษณ์ของผู้ดำเนินการและสัมประสิทธิ์คงที่
ความซับซ้อนของอนุพันธ์ $n$ ตัวถูกรวมเข้าไว้ในผู้ดำเนินการเชิงเส้น $L$ เพียงตัวเดียว เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ ($a_n$) นิพจน์จะลดรูปเป็น:
$L[y] = a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y' + a_ny = g(t)$
สัญลักษณ์นี้เน้นว่า $L$ ทำงานเชิงเส้น: $L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$ หลักการนี้ทำให้มั่นใจว่าคำตอบทั่วไปประกอบด้วย คำตอบเฉพาะเจาะจง ($y_c$) และ คำตอบเฉพาะ ($Y$).
พิจารณา รูปที่ 4.2.4: ระบบที่มีสปริงสองตัวและมวลสองชิ้นที่มีมวล $m_1, m_2$ และการเคลื่อนที่ $u_1, u_2$ ฟิสิกส์ให้สมการอันดับที่สองที่เชื่อมโยงกันสองสมการ โดยการแยกตัวแปร $u_1$ ผ่านการแทนค่า เราจะสร้างสมการอันดับที่ อันดับที่สี่ สมการ เพื่อแก้สมการนี้ เราต้องใช้ เงื่อนไขเริ่มต้น 4 ข้อ (ตำแหน่งและอัตราเร็วสำหรับแต่ละมวล) เพื่อหาเส้นทางทางกายภาพที่แน่นอน
ตัวอย่างที่แสดงกระบวนการ: คำตอบของสมการโฮโมเจนีอัส
หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์: $y''' - y'' - y' + y = 0$
สมมุติว่า $y = e^{rt}$ การแทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์จะได้: $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$
แยกตัวประกอบโดยจัดกลุ่ม: $r^2(r - 1) - 1(r - 1) = 0 \implies (r^2 - 1)(r - 1) = 0$
สิ่งนี้ขยายเป็น $(r - 1)(r + 1)(r - 1) = (r - 1)^2(r + 1) = 0$
รากคือ $r = 1$ (ความซ้ำซ้อน 2 ครั้ง) และ $r = -1$ เนื่องจาก $r=1$ ซ้ำ เราจะคูณพจน์ที่สองด้วย $t$
$y_c(t) = c_1e^t + c_2te^t + c_3e^{-t}$